• annealed
• graphs
• Ising
• limit-theorem
• quenched

Il modello di Ising, introdotto per comprendere le proprietà dei ferromagneti, è uno dei più classici modelli studiati in fisica. Oggi c'è un crescente interesse per il modello di Ising su grafi random, in particolare per le sue applicazioni in diversi campi. In fisica statistica, infatti, questo modello è un paradigma per analizzare fenomeni cooperativi su networks.
Il modello di Ising su grafi random è anche un modello ideale in probabilità per studiare risultati asintotici in presenza di una struttura di dipendenza tra le variabili di Ising e un ulteriore livello di disordine dato dai grafi random. Tenendo conto di questa doppia fonte di disordine in diversi modi, definiamo tre differenti misure.
Per una data assegnazione del grafo la misura Random Quenched coincide con la distribuzione di Boltzmann-Gibbs su tale grafo. Mediando su tutti i possibili grafi random in due modi diversi otteniamo la misura Average Quenched e la misura Annealed.
Lo scopo di questa tesi è quello di derivare risultati asintotici, come la legge dei grandi numeri e il teorema del limite centrale, per la somma delle variabili di spin del modello Ising su grafi random, rispetto alle tre diverse misure.
Nel caso random quenched i nostri risultati si applicano alla classe dei grafi random locally tree-like. I teoremi sono formulati nel regime di unicità fuori della regione critica. Per prima cosa studiamo la legge dei grandi numeri e poi dimostramo il teorema del limite centrale. Come nel caso del modello di Ising su reticolo, la varianza che appare nel teorema del limite centrale è data dalla suscettibilità del modello.
Purtroppo, la strategia generale utilizzata per i grafi random locally tree-like nel caso random quenched non funziona per il CLT nei settings average quanched e annealed. In questi due casi le fluttuazioni dovute alla struttura spaziale diventano rilevanti. Quindi studiamo il modello di Ising su particolari esempi di grafi random.
Nel caso average quenched consideriamo due speciali modelli: il 2-regular configuration model e il configuration model con gradi 1 e 2. In entrambi i casi le nostre prove si basano su calcoli espliciti relativi alla soluzione del classico modello di Ising unidimensionale.
Per quanto riguarda la misura annealed, oltre ai due configuration models precedentemente menzionati, esaminiamo il generalized random graph, dove è presente una transizione di fase. Le nostre dimostrazioni si basano ancora su calcoli espliciti. Nel caso annealed, il modello Ising sul generalized random graph viene ricondotto ad un modello Curie-Weiss inomogeneo. Lavorando nel regime di unicità, calcoliamo prima il limite delle quantità termodinamiche, individuando una temperatura critica annealed, e poi dimostriamo la legge dei grandi numeri e il teorema del limite centrale.
La nostra analisi mostra che le fluttuazioni del grafo random svolgono un ruolo cruciale nei settings average quenched e annelaed. In particolare, la varianza che appare nel teorema del limite centrale è in genere influenzata dalle fluttuazioni del grafo.
Infine analizziamo cosa accade al punto critico. Qui la varianza diverge, quindi il CLT non è più valido ed è necessaria un diverso riscalamento del total spin per ottenere una distribuzione limite non banale.
Investighiamo questo problema per il modello di Ising sul generalized random graph nel setting annealed. Dimostriamo che gli esponenti critici per questo modello corrispondono a quelli di un modello di Ising su grafi random locally tree-like nel caso random quenched. Inoltre, dimostriamo un teorema limite non classico. La dimostrazione mostra che abbiamo bisogno di riscalamenti differenti per la somma degli spin a seconda che la distribuzione dei gradi abbia il momento quarto finito o infinito.

The Ising model, introduced to understand ferromagnets, is one of the most classical models studied in physics. Today there is a rising interest in the Ising model on random graphs, mainly due to applications in different fields. Indeed this model is a paradigm model in statistical physics to analyze the effect of cooperative phenomena on networks . The Ising model on random graphs is also an ideal model in probability to study asymptotic results in the presence of two sources of randomness: a dependence structure between the Ising random variables and an extra level of randomness given by the random graphs. Taking this double randomness into account in various ways three different measures arise. For a given assignment of the graph the Random Quenched measure coincides with the random Boltzmann-Gibbs distribution on that random graph. Averaging over all possible random graphs in two different ways we obtain the Averaged Quenched and the Annealed measures. The aim of this thesis is to derive asymptotic results for the sum of the spin variables of the Ising model on random graphs, like the law of large numbers and the central limit theorem, with respect to the three different measures. In the random quenched setting our results apply to the class of locally tree-like random graphs. The theorems are stated in the uniqueness regime outside of the critical region. We first establish the rate at which the law of large numbers is reached and then we prove a central limit theorem. As in the case of the Ising model on lattice, the variance appearing in the central limit theorem is given by the susceptibility of the model. Unfortunately, the general strategy used for the local tree-like random graphs in the random quenched setting does not work for the averaged quenched and annealed CLT. In these two settings the fluctuations due to the spatial structure become relevant. Therefore we study the Ising model on particular examples of random graphs. In the average quenched setting we restrict ourselves to two special models: the 2-regular configuration model and the configuration model with degrees 1 and 2. In both these cases our proofs are based on explicit computations relying on the solution of the classical one-dimensional Ising model. Regarding the annealed measure, besides the two configuration models aforementioned ,we investigate the generalized random graph, where a phase transition is present. Our proofs are based again on explicit computations. In the annealed approximation, the Ising model on the generalized random graph is reduced to an inhomogeneous Curie-Weiss model. Working in the uniqueness regime, we first compute the limit of thermodynamic quantities, identifying a critical annealed temperature, and then we prove the law of large number and the central limit theorem. Our analysis shows that fluctuations of the random graph play a crucial role in the averaged quenched and annealed set-up. In particular, the variance of the Gaussian limiting law of the observables satisfying a central limit theorem is in general affected by the graph fluctuations. Finally we analyze what happens at the critical point. Here the variance diverges, so the CLT breaks down and a different scaling of the total spin is needed to obtain a non-trivial limiting distribution. We investigate this problem for the Ising model on generalized random graph in the annealed setting. We show that the critical exponents for this model match those of an Ising model on locally tree-like random graphs in the random quenched setting. Further, we prove a non-classical limit theorem. The proof reveals that we need different scalings for the total spin according to whether the degree distribution has a finite fourth moment or not.