• biforcazione
• cantor
• caos
• frattali
• stabilità

All'interno di questo lavoro di tesi, ho deciso di approfondire alcuni contenuti che mi erano stati introdotti all'interno del corso di Metodi Quantitativi. L'argomento principale su cui si basa l'intero lavoro riguarda i Sistemi Dinamici a tempo discreto, a cui afferiscono altre branche della matematica, come la teoria delle biforcazioni, della stabilità e dei frattali. Nella parte iniziale e centrale di questa tesi vengono affrontati, attraverso teoremi, definizioni ed esempi, il concetto di stabilità di un punto d'equilibrio per una mappa unidimensionale o per un sistema, con particolare riferimento a sistemi bidimensionali. Proprio nel caso di sistemi bidimensionali, attraverso l'analisi di autovalori e autovettori, abbiamo visto come tracciare, e che forma hanno, i diagrammi di fase. Nello sviluppare tali argomenti, ci siamo dedicati allo studio di mappe con dei parametri, facendo vedere che al variare di questi ultimi, il comportamento della mappa o del sistema dinamico subisce delle variazioni, il comportamento cambia. Nel punto in cui il comportamento di una mappa cambia significativamente, la mappa si dice che presenta una biforcazione. Quindi abbiamo presentato il tipo di biforcazioni che una mappa può presentare, sottolineando che nel caso di sistemi dinamici, vi è un tipo di biforcazione aggiuntiva, denominata Neimark-Sacker. Abbiamo introdotto il concetto di caos, in cui non vi è una definizione univoca, ma più studiosi, in base alle loro teorie, hanno provato a darne una definizione per tutti. Oltre ad un concetto puramente teorico, abbiamo visto quando una mappa è caotica anche da un punto di vista grafico, tramite i diagrammi di biforcazione o il calcolo dell'esponente di Liapunov. Concetto di caos che è stato esteso anche ai frattali, figure geometriche che hanno la caratteristica di autosimilarità. Infine questi argomenti sono stati applicati a due casi studio in ambito microeconomico, l'analisi dei mercati monopolistici e oligopolistici, in cui una o più imprese scelgono la quantità ottimale da produrre nel periodo successivo in base alle scelte delle altre imprese. Nello sviluppare l'analisi di questi due casi studio, abbiamo utilizzato due meccanismi, la regola del gradiente, usata sempre all'interno del mercato monopolistico, e l'approssimazione locale monopolistica, che viene introdotta nel caso di un mercato oligopolistico. Nel caso oligopolistico, abbiamo valutato anche il comportamento di più imprese che decidono di adottare meccanismi diversi, analizzando se un meccanismo è più favorevole dell'altro, a patto che l'unico obiettivo delle imprese è quello di massimizzare il profitto.

In this thesis, I decided to further explore some topics that were introduced to me during the Quantitative Methods course. The main focus of this work concerns Discrete-Time Dynamical Systems, which also intersects with other branches of mathematics, such as bifurcation theory, stability theory, and fractals. In the initial and central parts of this thesis, we discuss, using theorems, definitions, and examples, the concept of stability of an equilibrium point for a one-dimensional map or system, with particular reference to two-dimensional systems. Specifically, in the case of two-dimensional systems, we analyze how to construct and determine the shape of phase diagrams through the study of eigenvalues and eigenvectors. In developing these topics, we dedicated attention to the study of maps with parameters, illustrating that as these parameters change, the behavior of the map or the dynamical system changes as well. When a map's behavior undergoes a significant change, it is said to exhibit a bifurcation. We then presented the types of bifurcations that a map can exhibit, highlighting that in the case of dynamical systems, there is an additional bifurcation type known as the Neimark-Sacker bifurcation. We also introduced the concept of chaos, noting that there is no single unified definition, but rather various scholars have attempted to offer a comprehensive definition based on their respective theories. Beyond the purely theoretical aspects, we explored when a map is chaotic from a graphical perspective, using bifurcation diagrams and calculating the Lyapunov exponent. This concept of chaos was further extended to fractals, geometric figures characterized by self-similarity. Finally, these topics were applied to two case studies in the field of microeconomics: the analysis of monopolistic and oligopolistic markets, where one or more firms choose the optimal quantity to produce in the following period based on the decisions of other firms. In developing the analysis of these two case studies, we employed two mechanisms: the gradient rule, always used in the monopolistic market, and local monopolistic approximation, which is introduced in the oligopolistic market case. In the oligopolistic scenario, we also evaluated the behavior of multiple firms adopting different mechanisms, analyzing whether one mechanism is more advantageous than another, provided that the sole objective of the firms is to maximize profit.