Riassunto analitico
La ricostruzione di immagini è un problema importante in diversi campi delle scienze
applicate, come, per esempio, l’imaging medico, la microscopia e l’astronomia. In
molti casi un problema di imaging può essere riformulato come un problema inverso
lineare mal posto, in cui viene a mancare una proprietà tra l’esistenza della soluzione,
la sua unicità o la sua dipendenza continua dai dati. Inoltre, i problemi di
imaging sono in generale di grande scala, poichè oggi è abbastanza comune elaborare
immagini dell’ordine di parecchi mega-pixel (o mega-voxel nel caso 3D). Pertanto, lo
sviluppo di algoritmi numerici efficienti risulta essere obbligatorio e l’uso di metodi
iterativi, salvo alcuni casi particolari, è una scelta quasi obbligata. Nella letteratura
sono stati proposti molti metodi, in generale derivati da approcci differenti,
che vanno da strategie iterative per la soluzione di equazioni lineari a metodi per la
risoluzione di specifici problemi variazionali.
Un possibile approccio al problema della ricostruzione di immagini porta ad una sua
riformulazione come problema di minimizzazione di un funzionale dipendente dalle
proprietà statistiche del rumore sui dati acquisiti, con l’aggiunta di vincoli sull’incognita che codificano imposizioni fisiche sul contenuto dell’immagine da recuperare.
Tale riformulazione ha aperto la strada all’applicazione di metodi di ottimizzazione
classici, ed in particolar modo all’utilizzo di metodi del gradiente proiettato, che
permettono di ottenere soluzioni di media accuratezza con strategie a basso costo
per iterazione. In questa tesi abbiamo considerato il metodo del gradiente proiettato,
che consiste in un classico metodo del prim’ordine in cui la direzione di discesa è determinata combinando un passo opportuno nella direzione opposta al gradiente
con una proiezione sull’insieme ammissibile. Tale metodo è stato applicato al problema
di deconvoluzione di immagini non-negative corrotte da rumore Gaussiano,
per il quale un approccio di tipo massima verosimiglianza prevede la minimizzazione
del funzionale classico dei minimi quadrati.
Lo scopo di questa tesi è stato quello di analizzare diverse condizioni al bordo per
il calcolo del prodotto di convoluzione, da cui dipendono sia le proprietà computazionali
di una singola iterazione del metodo sia la qualità dell’immagine ricostruita
attorno ai suoi contorni. In particolare, sono state studiate le condizioni al bordo
anti-riflettenti proposte recentemente da Donatelli, che a differenza delle
altre strategie presenti in letteratura preservano sia la continuità dell’immagine ai
suoi bordi sia la sua derivata normale. Tali condizioni al bordo hanno portato a
ricostruzioni più precise nell’ambito della ricostruzione di immagini non vincolata,
ottenuta cioè mediante approcci di regolarizzazione alla Tikhonov o iterativi con il
CGLS (Copnjugate Gradient Least Squares) combinato con un arresto prematuro.
In questa tesi si vuole investigare l’efficacia di questa proposta anche in problemi
con vincoli espliciti sull’immagine da ricostruire, quali ad esempio la non negatività
dei suoi pixel.
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