Riassunto analitico
Obiettivo di questa tesi è quello di analizzare due operatori alle derivate parziali: l’operatore laplaciano e quello del calore.
Il primo è un operatore ellittico e riveste un ruolo centrale in elettrostatica, dove è utilizzato nell’equazione di Laplace e nell’equazione di Poisson.
Il secondo, invece, è usato per formulare e risolvere problemi fisici quali la propagazione del calore.
Nel primo capitolo della tesi introdurremo l’operatore di Laplace e vedremo come è coinvolto nelle identità di Green. In seguito, mostreremo come costruire la soluzione fondamentale dell’operatore laplaciano, evidenziandone alcune importanti proprietà.
Dopodichè, vedremo alcune formule di rappresentazione che coinvolgono l’operatore di Laplace.
Infine, osserveremo che le funzioni armoniche soddisfano una formula di media, sulla quale si basano alcune interessanti conclusioni.
Un percorso analogo verrà seguito nel secondo capitolo, che riguarderà l’operatore del calore. In esso vedremo anche due metodi per trovare una soluzione fondamentale per l’operatore del calore.
Il primo, più classico, non fa uso della trasformata di Fourier, la quale verrà usata nel secondo metodo.
Nel terzo capitolo presenteremo un metodo fornito da E. E. Levi per costruire una soluzione fondamentale per un operatore ellittico.
L’idea di Levi è stata quella di osservare che una paramatrice per L può essere trasformata in una soluzione fondamentale locale.
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