Riassunto analitico
Dato un grafo G, una G-decomposizione di un grafo K è un insieme di sottografi di K, detti blocchi, tutti isomorfi a G, i quali formano una partizione dell'insieme degli spigoli di K. Una G-decomposizione del grafo completo K_v prende il nome di G-disegno di ordine v. Un G-disegno è detto bilanciato se il numero di blocchi contenenti un qualsiasi vertice di K_v è un numero costante. Si determinano i valori ammissibili per grafi connessi con 7 vertici, 7 spigoli e contenenti un 3-ciclo utilizzando le condizioni necessarie di divisibilità. Si completa lo studio dello spettro di esistenza del grafo longhorn L_7, mostrando che le condizioni necessarie sono anche sufficienti, quindi che l'insieme dei valori ammissibili coincide con lo spettro, e si inizia la determinazione dello spettro di esistenza del grafo H_31, notando che il suo spettro sarà differente da quello di L_7 dal momento che i valori v=7,8 non appartengono allo spettro. Le costruzioni proposte saranno in parte dirette, ovvero è data una lista dei blocchi per taluni valori di v, e in parte ricorsive, cioè dall'esistenza di G-disegni di basso ordine v è possibile risalire all'esistenza di G-disegni di ordine maggiore.
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