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• path integrals
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• semiconductors
• Worldline numerics

Negli ultimi due decenni sono stati sviluppati algoritmi per il calcolo numerico degli integrali relativistici di percorso a singola particella nella teoria quantistica dei campi. Solo nel 2019 (da Edward et.al) uno di questi algoritmi, vale a dire il metodo Worldline Monte Carlo, è stato adattato alla meccanica quantistica. In questa tesi, adatteremo l'approccio Worldline Monte Carlo per stati legati e gli eccitoni indiretti (IX) in eterostrutture proprie dei semiconduttori e, per fare ciò, svilupperemo il formalismo Worldline Monte Carlo a due particelle. Testeremo questo metodo appena sviluppato con due sistemi di particelle costruiti per imitare l'eccitone: ad esempio simuleremo l'oscillatore armonico in 2D, il potenziale soft di Coulomb in 1D e 2D e il potenziale di Coulomb in 2D e 3D. Infine simuleremo la propagazione dell'IX in 1D e 2D con potenziali esterni e indagheremo in 1D lo scattering con potenziali esterni gaussiani.
Questo contesto speriamo possa fornire un importante punto di riferimento per le future applicazioni del metodo Worldline Monte Carlo agli stati legati nella teoria quantistica dei campi e nella teoria di Gauge reticolare. Allo stesso tempo siamo motivati ​​dalla possibilità di trovare un'alternativa al costoso,dal punto di vista computazionale.metodo FSS (Fourier Split-Step); metodo che è stato utilizzato per simulare la propagazione dell' IX dipendente dal tempo.

In recent years simulations of condensed matter systems using methods of quantum field theory have attracted increasing research focus. Many of these application are based on functional integrals which provide a very powerful mathematical background to interpret many aspects of quantum field theory and quantum mechanics. Widely studied condensed matter systems using functional integrals include: propagation of Cooper pairs and electron-phonon interactions, propagation and interaction of anyons in 2+1 dimensional systems , toy models , graphene etc ... . An important drawback is that functional integral simulations, being developed in quantum field theory contest, describe very well systems with large number of degrees of freedom and symmetries which usually condensed matter systems do not posses, this is the reason why some applications are based on approximated models which ,despite leading to very good estimations, are fairly limited in applicability. In order to simulate more condensed matter system some adaptation to quantum mechanics of functional integrals simulations have been proposed. Worldline Monte Carlo method has been only recently applied to quantum mechanics by Edwards et al. ( 2019) for one particle systems. The numerical implementations of the same, discretize the trajectories with respect to their time parametrization but the spatial domain is left continuous. Trajectories generated in this way are independent on the form of the potential thus this method is universally applicable. It has been developed in Euclidean time formalism and its main application is the estimation of the ground state energy by taking large imaginary time limit. The aim of this thesis is the application of this method to Wannier-Mott excitons in properly engineered heterostructures and for this purpose we will propose a generalisation of Worldline Monte Carlo method for two particles and we will test it with some fairly simple systems before we address the simulation of the exciton in heterostructures for different dimensions.