• Magnetization
• Parameters
• Phase transitions
• Quantum estimation
• Quantum metrology

Questo lavoro è uno studio teorico di metrologia su Classical e Quantum Fisher Information per il modello di Heisenberg XY unidimensionale, anisotropo e con interazione di Dzyaloshinskii-Moriya (DM), nel limite termodinamico e a temperatura zero. L’idea che c’è dietro è di continuare gli studi sulle catene di spin, ma con due innovazioni principali. La prima è rendere la descrizione della catena di spin più generale, introducendo l’anisotropia e l’interazione DM. La seconda è usare un approccio differente allo studio, passando da una misura globale della catena a una misura solo su due suoi spin.
L’obbiettivo degli studi su Classical e Quantum Fisher Information di un certo sistema è capire come stimare i parametri dell’Hamiltoniana del sistema, ottenendo la più alta precisione possibile. Nell’Hamiltoniana del modello di Heisenberg XY unidimensionale, anisotropo e con interazione DM ci sono tre parametri che è utile stimare per caratterizzare il sistema. Il primo è associato all’intensità dell’interazione tra due spin che avviene lungo la stessa direzione. Il secondo regola le differenti intensità dell’interazione appena citata, lungo l’asse X e lungo l’asse Y. Quindi regola l’anisotropia di questa interazione. Infine, Il terzo parametro è associato all’intensità dell’interazione DM.
La struttura di questo elaborato si articola nel modo seguente. Nel primo capitolo viene introdotta la teoria della stima quantistica, poi il modello di Heisenberg XY unidimensionale, anisotropo e con interazione DM. Questo fornisce al lettore le conoscenze preliminari sulle proprietà del sistema, in particolare della sua Hamiltoniana, e sugli strumenti fondamentali della metrologia quantistica moderna, che sono Classical e Quantum Fisher information. Nella prima parte del secondo capitolo è presente la derivazione della matrice densità ridotta per due spin, in base computazionale. A causa della sua struttura particolare, la matrice densità ridotta appartiene a una particolare famiglia di stati chiamati stati a X. Nella seconda parte del secondo capitolo viene mostrata la derivazione della Quantum Fisher Information per gli stati a X, che è basata su una decomposizione della matrice densità che sfrutta la particolare struttura di questa famiglia di stati. Nel terzo capitolo cominciamo a mostrare i risultati originali. Infatti deriviamo l’espressione generale per Classical e Quantum Fisher Information associate a misure di magnetizzazione fatte su due spin della catena. Quindi basate sulla matrice densità ridotta derivata nel secondo capitolo. Dopodiché abbiamo deciso di concentrarci sul parametro associato all’intensità dell’interazione tra due spin che avviene lungo la stessa direzione, chiamato J. Nel quarto capitolo analizziamo i risultati numerici ottenuti per Classical e Quantum Fisher Information associate al parametro J, per misure di magnetizzazione su spin primi vicini. Nella prima parte di questo capitolo mostriamo cosa succede senza interazione DM. Quindi studiamo come la FI e la QFI di J sono influenzate dal cambiamento del parametro legato all’anisotropia soltanto. Questo è stato utile per confrontare i risultati che abbiamo ottenuto con una misura quasi-locale con i risultati ottenuti da misure globali presenti in letteratura. Nella seconda parte del quarto capitolo mostriamo come cambia la situazione per FI e QFI di J, aggiungendo l’interazione DM. Nel quinto capitolo analizziamo FI e QFI di J al variare della distanza tra i due spin misurati, espressa in termini del numero di siti reticolari. Questo è stato fatto per capire se esiste una distanza ottimale tra i due spin che massimizzi la precisione della stima. Infine, ci sono le conclusioni riguardo i risultati di questo lavoro.

This work is a theoretical metrology study on the Classical and the Quantum Fisher information for the one-dimensional anisotropic Heisenberg XY model with Dzyaloshinskii-Moriya (DM) interaction, in the thermodynamic limit and at zero temperature. The idea behind it is to continue the studies on the spins chain, but with two main innovations. The first is to make the spin chain description more general, introducing the anisotropy and the DM interaction. The second is to use a different approach to the study, moving from a global measurement of the whole chain to a measurement of only two spins of the chain. The aim of the studies on the Classical and the Quantum Fisher information of a certain system is to understand how to estimate parameters present in the Hamiltonian of the system, achieving the highest precision possible. In the Hamiltonian of the one-dimensional anisotropic Heisenberg XY model with DM interaction there are three parameters that is useful to estimate to characterize the system. The first is associated to the strength of the interaction between two spins, that occurs along the same direction. The second rules the different intensities of the interaction that was just mentioned along the X-axis and along the Y-axis. So, actually, the anisotropy of this interaction. Eventually, the third parameter is associated to the strength of the DM interaction. The structure of this elaborate is articulated as follows. In the first chapter of this work are introduced the quantum estimation theory and the one-dimensional anisotropic Heisenberg XY model with DM interaction. This will provide to the reader the background knowledge on the properties of the system, in particular of its Hamiltonian, and on the fundamental tools of the modern quantum metrology, that are the Classical and the Quantum Fisher information. In the first part of the second chapter there is the derivation of the reduced density matrix for two spins of the chain in computational basis. Since its particular structure the reduced density matrix belongs to the a particular family of states that is called X-states. In the second part of the second chapter is shown the derivation of the Quantum Fisher Information for the X-states, that is based on a decomposition of the density matrix which exploits the particular structure of this family of states. In the third chapter we start to show the original results. In fact we derive the general expression for the Classical and the Quantum Fisher information associated to a magnetization measurements on two spins of the chain. Therefore based on the reduced density matrix derived in the second chapter. Then we decided to focus the work on the parameter associated to the strength of the interaction between two spins occurring along the same direction, that is called J. In the fourth chapter we analyzed the numerical results obtained for the Classical and the Quantum Fisher Information associated to the parameter J for magnetization measurements on nearest neighbours spins. In the first part of this chapter we show what happens without the DM interaction. So we studied how the FI and the QFI of J are influenced by the changing of the anisotropy parameter only. This was useful to compare the results we obtained exploiting a quasi-local measurements with the results associated to a global measurements present in literature. In the second part of the fourth chapter we show how the situation for FI and the QFI of J changes adding the DM interaction. In the fifth chapter we analyze the FI and the QFI of J by varying the distance between the two spins measured, in terms of number of reticular sites. This was done to understand in particular if there is an optimal distance between the two spins to maximize the precision of the estimation. Then there are the conclusions about the results of this work.