Riassunto analitico
Questo lavoro di tesi è incentrato sullo studio di soluzioni non-locali di processi di evoluzione e sulla loro controllabilità.
Un processo di evoluzione descrive il cambiamento di una grandezza nel tempo o nello spazio e può essere rappresentato matematicamente tramite equazioni differenziali, equazioni alle differenze o equazioni integrali, che regolano come la quantità si modifica rispetto alle variabili indipendenti temporale e spaziale. Le equazioni di diffusione suscitano un grande interesse in quanto sono ampiamente utilizzate in molteplici discipline per descrivere e modellare i processi di diffusione di sostanze o quantità all’interno di un sistema.
Dal punto di vista teorico, consideriamo come punto di partenza il seguente problema di Cauchy astratto
$$ x’(t)=Ax(t)+f(t,x(t)), \quad t\in [0,T] $$
con $ A $ operatore lineare, non necessariamente limitato, generatore di un semigruppo fortemente continuo. Cerchiamo come soluzione una funzione $ x $ a valori in un opportuno spazio di Banach $ X $.
L’esistenza di soluzioni del problema che soddisfano fissate condizioni non-locali sta incontrando un crescente interesse per la possibilità di ricavare da queste traiettorie informazioni aggiuntive sull’evoluzione del sistema.
La condizione non-locale trattata in questo lavoro di tesi è
$$ x(0)\in x_0+g(x(\cdot)) $$
dove $ g:C([0,T],X)\to P(X) $ è una multimappa e $ x_0\in X $.
All'interno dell'elaborato vengono discussi alcuni risultati di esistenza e di controllabilità di tali soluzioni. Per ottenere tali risultati è necessario l'utilizzo della teoria dei semigruppi, di opportune misure di non compattezza e di teoremi di punto fisso, questi argomenti sono quindi analizzati come risultati preliminari all'interno del secondo capitolo della tesi.
Infine, l'elaborato contiene un'applicazione dei risultati teorici illustrati a processi di diffusione espressi da equazioni alle derivate parziali di tipo parabolico.
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