Riassunto analitico
La presente tesi nasce dalla volontà di approfondire il tema delle geometrie non euclidee, declinandolo nei suoi aspetti didattici per la scuola primaria: nell’ambito spazio e figure infatti numerose sono le attività riguardanti le geometrie non euclidee che possono essere svolte nella scuola primaria. In esse l’insegnante non deve fornire spiegazioni teoriche, ma stimolare la riflessione intorno a regolarità, discrepanze e differenze rispetto alla geometria del piano. La sfida di queste proposte deve essere quella di reinventare la geometria con i propri studenti, promuovendo l’esplorazione e la riflessione. Per proporre attività del genere, l’insegnante deve aver approfondito queste geometrie, e aver compiuto intorno ad esse una riflessione. A tal fine questa tesi affianca alla parte di riflessioni didattiche una parte iniziale teorica. In essa si propone la storia e lo sviluppo delle geometrie non euclidee, nate tra la fine del XVIII secolo e l’inizio del XIX secolo dalla negazione di un postulato degli Elementi di Euclide.
La tesi parte dalla nascita degli Elementi di Euclide, avvenuta intorno al 300 a.C.: l’opera raccoglie assiomaticamente i risultati delle ricerche dei secoli precedenti, in una struttura ben organizzata e suddivisa in termini primitivi, postulati ed assiomi. E’ proprio da uno dei postulati euclidei, il V, noto come postulato delle parallele, che partì lo studio dei matematici: dati nel piano un punto e una retta esterna ad esso, per il punto passa al più una retta parallela alla retta data. Per anni ne si cercò una dimostrazione, ma l’esito di tali ricerche fu solo una serie di postulati equivalenti. Cercando di dimostrarlo ammettendo il suo contrario, invece, in alcuni studiosi maturò la convinzione che la geometria che si otteneva negando il V postulato non fosse contraddittoria: negando l’unicità della parallela alla retta passante per un punto, come fecero i matematici Bolyai e Lobačevskij, si giunse alla geometria iperbolica; mentre negando l’esistenza della parallela alla retta passante per un punto, la geometria che si trovò fu quella sferica di Riemann. Per andare in aiuto al problema di attuare una verifica delle premesse di queste nuove geometrie vengono presentati alcuni modelli, cioè interpretazioni (euclidee) dei termini primitivi delle geometrie non euclidee, secondo le quali gli assiomi sono veri. I modelli presentati sono quelli di Klein e Poincaré per la geometria iperbolica, e quello di Riemann per la geometria sferica.
Dopo la trattazione di quanto accade nelle geometrie non euclidee e di come esse siano nate, la tesi si conclude con una sezione dedicata alle ripercussioni didattiche che la conoscenza di queste nuove geometrie può portare. Un excursus storico dell’insegnamento della geometria in Italia e un riferimento alle Indicazioni Nazionali aiutano nella ricerca di un collocamento delle geometrie non euclidee nell’insegnamento matematico nella scuola primaria; mentre una riflessione sull’impostazione euclidea dell’insegnamento evidenzia il motivo per cui la geometria euclidea risulta di più facile comprensione. Vengono quindi presentate alcune attività pratiche da realizzare insieme ai bambini, per creare occasioni di incontro con nuove geometrie. Ad esempio la sfericità del pianeta Terra offre tante possibilità di scoperta, attraverso l’osservazione delle rotte aree, la rappresentazione della superficie terrestre con cartine geografiche o l’esplorazione delle proprietà della geometria sferica. Nella scuola primaria la geometria non euclidea non va spiegata, ma è comunque presente, e potrebbe dare vita ad attività in cui la geometria non viene realizzata come addestramento alla ripetizioni di schemi, esercizi, teorie; ma piuttosto come razionalizzazione di diverse esperienze.
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