Riassunto analitico
La presente tesi si propone di esaminare il problema dell’ottimizzazione bilivello sia dal punto di vista teorico che computazionale. In particolare, saranno analizzate le condizioni di ottimalità del problema e alcuni metodi appartenenti alla tipologia forwardbackward recentemente proposti in letteratura. I problemi di ottimizzazione bilivello sono particolarmente rilevanti nell’ambito dell’approccio variazionale applicato alla ricostruzione di immagini. Infatti, in questo contesto, un’immagine di buona qualità è ottenuta a partire da un dato osservato, che presenta diversi tipi di distorsione, e mediante la risoluzione di un problema di ottimizzazione in cui la funzione obiettivo dipende da uno o più parametri. Il problema bilivello interviene quindi come modello per calcolare il set di parametri ottimali per ottenere la ricostruzione più accurata. Le difficoltà insite nel problema bilivello sono molteplici, sia dal punto di vista analitico che da quello numerico. Per esempio, la funzione da ottimizzare e il suo gradiente sono definiti in modo implicito, in funzione della soluzione di un altro problema di minimo che non è, in generale, disponibile in forma chiusa. In questa tesi verranno discussi i più rilevanti tra questi aspetti e le strategie proposte in letteratura per trattarli. Inoltre, si descriveranno tre differenti approcci numerici per il calcolo della soluzione. La tesi è organizzata nel modo seguente.
Il primo capitolo si concentra sulla presentazione di diversi modelli variazionali utilizzati nell’ambito dei problemi inversi, con particolare riferimento alla ricostruzione di immagini, fornendo una panoramica degli approcci teorici e delle applicazioni pratiche di tali metodi.
Il secondo capitolo presenta il problema bilivello in due approcci distinti: il primo approccio è basato sulle condizioni di ottimalità del problema, mentre il secondo approccio è basato sul teorema della funzione implicita. Entrambi verranno analizzati in dettaglio, evidenziando per ognuno le principali caratteristiche, l’ipotesi di cui necessitano ed infine la semplificazione del problema bilivello.
Il terzo capitolo si concentra sull’analisi di convergenza di due algoritmi forward-backward recentemente proposti in letteratura. Verranno esaminati i criteri di convergenza, le proprietà teoriche e le condizioni necessarie per garantire una convergenza lineare dei due algoritmi.
Infine, il quarto capitolo affronta l’implementazione pratica dei due algoritmi e analizza le loro performance anche in relazione allo stato dell’arte di questo tipo di problema.
I risultati ottenuti possono contribuire a migliorare la comprensione e l’applicazione dei metodi di ottimizzazione nel contesto del problema bilivello, identificando le loro potenzialità e limitazioni.
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