Riassunto analitico
L’ambito di ricerca nel quale il lavoro di tesi si inserisce è quello delle Equazioni Differenziali alle Derivate Parziali e alla teoria della Regolarità per operatori su gruppi di Lie. In particolare, obiettivo dell’elaborato sarà lo studio delle stime di Schauder per sub-laplaciani nel gruppo di Heisenberg e, più in generale, in gruppi di Carnot. Nel fare ciò, l’approccio utilizzato sarà quello seguito da Xu-Jia Wang nell’articolo “Schauder estimates for Elliptic and Parabolic equations”, nel quale tali stime vengono dimostrate per l’equazione di Laplace in ambito euclideo. Tale approccio, basato sull’utilizzo del principio del massimo, su formule di valore medio, su stime a priori per funzioni armoniche e sulla formula di Taylor, permette di ottenere stime del modulo di continuità delle derivate molto precise, tra cui quelle per esponenti di regolarità hoelderiani uguali a uno e consente di gestire un modulo di continuità di Dini. Un ulteriore vantaggio di questo approccio è quello di essere elementare e pertanto di poter essere esteso allo studio della regolarità in ambiente non euclideo.
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