Riassunto analitico
In questa tesi viene studiato il problema di Cheeger n-dimensionale in ambienti aperti in generale ed in particolare nel caso in domini convessi limitati sufficientemente regolari. L'esistenza di soluzioni in ambienti limitati viene ottenuta via Metodo Diretto usando la disuguaglianza isoperimetrica; le proprietà elementari del perimetro vengono usate per dedurre l'esistenza di soluzioni minimali e di una soluzione massimale in ambienti limitati; delle soluzioni viene calcolata la curvatura media (costante) negli ambienti usando le espressioni delle variazioni prime di perimetro e volume. Poiché le soluzioni al problema di Cheeger sono soluzioni al problema isovolumetrico, ad esse vengono applicate la legge di Young di contatto tangenziale con le frontiere degli ambienti; per la stessa ragione, alle soluzioni vengono applicati alcuni risultati più o meno recenti di regolarità e convessità delle frontiere relative agli ambienti. Le soluzioni al problema 2-dimensionale in domini convessi limitati vengono caratterizzate usando le idee già formalizzate da alcuni autori, ed in particolare applicando le formule di Steiner. Il problema in domini convessi limitati sufficientemente regolari viene studiato seguendo le linee tracciate da diversi autori negli ultimi anni: vengono dimostrati un principio del minimo di concavità per soluzioni di certe equazioni ellittiche, introdotto recentemente da Korevaar, ed un lemma di esclusione del minimo di concavità dalla frontiera per le soluzioni il cui grafico formi in media un angolo di contatto verticale al bordo, annunciato dallo stesso Korevaar; applicando questi risultati al problema delle superfici di curvatura media assegnata viene dedotta la convessità delle soluzioni al problema di Cheeger; una caratterizzazione del sottodifferenziale della variazione totale viene usata per costruire soluzioni ad un problema un po' più generale di quello di Cheeger; usando queste ultime, vengono individuate le soluzioni minimale e massimale al problema di Cheeger, e le soluzioni al problema di Cheeger in esse stesse convesse e sufficientemente regolari vengono caratterizzate in termini della curvatura media della loro frontiera; le proprietà di convessità della curvatura media vengono usate per dedurre la minimalità delle combinazioni convesse delle soluzioni minimale e massimale, e per dimostrare infine l'identità delle soluzioni.
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