Riassunto analitico
La tesi si compone così di due parti: una sulle curve algebriche su campo K qualsiasi; l'altra sulle curve definite su campi finiti, e applicazioni.
Parto mostrando alcuni aspetti classici delle curve piane: attraverso il risultante di polinomi, l'intersezione tra curve con il teorema di Bézout; attraverso una sequenza di trasformazioni quadratiche, la trasformabilità di ogni curva piana in una con solo singolarità ordinarie.
In caratteristica positiva, vi solo alcune peculiarità: ad esempio, la presenza di curve "strane", cioè con un nucleo, la cui polare non è definita; ancora, le curve con un punto "terribile", per le quali è necessario un'argomento ad hoc per riuscire a trasformarle in curve con solo singolarità ordinarie.
Attraverso le serie (formali) di Laurent , ho poi introdotto i rami di una curva, che generalizzano il concetto di punti di una curva (in ogni punto semplice è centrato un solo ramo, più rami se il punto è singolare).
Ho poi introdotto il campo delle funzioni razionali S di una curva come estensione del campo tramite un "punto generico" della curva; in questo modo sono arrivato al concetto di "posti" di una curva (o meglio, posti di S). Essi null'altro sono che la controparte algebrica dei rami della curva: un posto è una classe di equivalenza, a meno di K-automorfismi di K((t)), di K-monomorfismi di S in K(x(t),y(t)), dove x(t) e y(t) sono certe serie di Laurent.
I posti risultano quindi, analogamente ai rami, estensione del concetto di punti di una curva; essi hanno zeri e poli; l'uso dei posti è equivalente a quello, più comune in letteratura, degli anelli locali centrati in un punto della curva.
Proseguendo, introduco in modo classico il genere di una curva, tramite derivazioni e differenziali; qui presento lo strumento delle derivate alla Hasse, prima in K((t)) e da qui in S. Esse servono per derivate superiori in caratteristica positiva, per evitare che si possano annullare derivate e differenziali rispetto a un elemento separabile.
Sviluppo poi la teoria delle serie lineari; attraverso lo studio dei divisori tagliati su una curva da un sistema lineare di curve arrivo a dimostrare il teorema di Riemann-Roch (di nuovo, in forma elementare, senza alcun strumento coomologico).
Presento inoltre il semigruppo di Wierstrass di una curva in un suo punto.
Nella seconda parte, il campo soggiacente K è la chiusura algebrica di un campo finito F, su cui le curve considerate sono definite. L'oggetto principale di studio sono i punti F-razionali della curva, e il loro conteggio.
Il teorema centrale è certamente quello di Stohr-Voloch. Esso è formulato, e dimostrato, su curve non necessariamente piane.
Successivamente, analizzo un altro bound per il numero di punti razionali, il famoso bound di Hasse-Weil; questo bound è in generale ottimale, ad esempio la curva hermitiana raggiunge la limitazione superiore.
Il bound superiore di Hasse-Weil è in sostanza un corollario di Stohr-Voloch, mentre per dimostrare la limitazione inferiore si usa la teoria di Galois applicata agli automorfismi di una curva.
Dal bound si ottiene anche l'elegante teorema di Hasse-Weil sulle radici del polinomio L di una curva definita su un campo finito, nell'ambito della funzione zeta di Riemann associata a tale curva.
Infine, nella tesi mostro come, a partire dalle curve su campi finiti, nasce una classe notevole di codici lineari, i cosiddetti codici di Goppa, o AG-codes. Per i codici di Goppa, una volta in possesso dell'armamentario sulle curve, si possono dimostrare buone stime sulla distanza minima.
Anche in questo caso, particolarmente interessante si dimostrano le curve hermitiane (come mostrato in alcuni recenti lavori di Korchmaros e Nagy).
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