Riassunto analitico
Lo scopo della tesi è quello di ricercare le soluzioni stazionarie dell'equazione di Schrödinger unidimensionale e indipendente dal tempo, sia nel caso lineare che in quello non lineare. In questo elaborato viene supposto che il potenziale sia costituito da una o più distribuzioni Delta di Dirac.
Inizialmente viene trattato il caso lineare. Nei modelli in cui il potenziale è composto da una o più distribuzioni Delta, è possibile trovare analiticamente l'espressione esplicita della soluzione stazionaria mediante l'uso della funzione speciale di Lambert e delle sue generalizzazioni. Se il potenziale assume forme più complesse, come un potenziale di tipo Step o di tipo Stark, è possibile trovare le soluzioni stazionarie solo numericamente. In questi casi è importante notare la presenza di un fenomeno chiamato "quasi incrocio": le soluzioni si avvicinano sempre di più senza però mai incontrarsi.
Il caso non lineare è più complicato e richiede l'uso di ulteriori funzioni speciali. Il modello più semplice, in cui è presente una singola Delta centrata nell'origine, può essere risolto analiticamente, ma è necessario utilizzare le funzioni ellittiche di Jacobi. Il caso in cui sono presenti due Delta si complica e, imponendo le condizioni di raccordo, si giunge a un sistema composto da 11 equazioni in 11 incognite. La risoluzione di questo sistema è complessa anche dal punto di vista numerico, a causa della presenza di una forte discontinuità delle funzioni ellittiche di Jacobi.
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Abstract
The thesis deals with the research of stationary solutions of the time-independent one-dimensional linear and non-linear Schrödinger equation. In this work it is assumed that the potential is given by one or more Dirac’s Delta distributions.
Firstly, is discussed the linear case. In the simplest models, in which the potential is composed of one or two Delta distributions, is possible to find the analytic expression of the stationary solutions using the special Lambert function and its generalisations. If the potential has most difficult forms, like Step potential or Stark-type Potential, stationary solutions can be found only numerically. In those cases, it is important to note that there is a phenomenon called “avoided crossing”, meaning that the solutions of the Schrödinger equations get closer but without intersecting themselves.
The non-linear case is more complicated and therefore it requires the use of others special functions. Even the simplest model, which has a single Delta supported at the origin, could be solved analytically, but using Jacobi elliptic functions. The case with two Deltas, imposing the matching conditions, leads to a system composed by 11 equations with 11 unknowns. Solving this system is complicated even numerically, due to the presence of a singularity of Jacobi elliptic functions.
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