Riassunto analitico
L’equazione differenziale del secondo ordine alle derivate parziali di Kolmogorov è stata introdotta nel 1934 per descrivere lo studio della densità di un sistema di N particelle di gas nello spazio delle fasi. La soluzione fondamentale di questo operatore è esprimibile come densità della soluzione di un’equazione differenziale stocastica. Tale particolarità permette all’operatore di apparire in diversi ambiti, quali la teoria cinetica, la teoria della probabilità e in finanza, ad esempio nel modello di Black and Scholes per lo studio del prezzo delle opzioni Asiatiche.
In questa tesi vengono presentati i principali risultati ottenuti nella teoria della regolarità classica applicati all’operatore di Kolmogorov degenere. In particolare, vengono illustrate le formule di media e la loro applicazione nella dimostrazione del principio del massimo forte e della disuguaglianza di Harnack.
Nel primo capitolo, per introdurre tali concetti, viene analizzato il caso dell’operatore parabolico del calore, che presenta maggiore regolarità. Nei capitoli successivi, seguendo un percorso analogo a quello precedente, si estendono tali risultati all’operatore di Kolmogorov degenere a coefficienti costanti, introducendo un’opportuna versione del teorema della divergenza e la teoria dei gruppi di Lie. In seguito si considera l’operatore a coefficienti Holderiani, insieme alle nozioni legate alla teoria della misura e dei perimetri finiti.
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Abstract
The Kolmogorov partial differential equation of the second order was introduced in 1934 to describe the study of the density of a system of N gas particles in the phase space. The fundamental solution of this operator is expressed as the density of the solution of a stochastic differential equation. This particularity allows the operator to appear in different fields, such as the kinetic theory, the probability theory and in finance, for example in the Black and Scholes model applied to the pricing problem for Asian Options.
In this thesis we present the main results obtained in the regularity theory for classical solutions applied to the degenerate Kolmogorov operator. In particular, we illustrate the mean value formulas and their applications to the proofs of the strong maximum principle and the Harnack inequality.
In the first chapter, to introduce these concepts, we will analyze the more regular case of the parabolic heat operator. In the next chapters, following a similar path to the previous one, we extend these results to the degenerate Kolmogorov operator with constant coefficients, introducing a suitable version of the divergence theorem and the theory of Lie groups. Next we consider the operator with Holder continuous coefficients, along with the notions about measure theory and finite perimeter theory.
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