Riassunto analitico
Il metodo di Perron fornisce una procedura che permette risultati di esistenza per problemi di Dirichlet per operatori alle derivate parziali ellittici o parabolici del secondo ordine. Il funzionamento del metodo di Perron si basa sulla possibilità di costruire una base della topologia dello spazio ambiente costituita da aperti regolari ossia insiemi V in cui è ben definito il problema di Dirichlet per l'operatore L in esame. Nel caso in cui, L sia l’operatore del calore abbiamo verificato che, com’è già noto, si può costruire una base di aperti regolari per la topologia di R^n+1 formata da insiemi costituiti da cilindri alla cui sommità è unito un cono. Hanno avuto un ruolo centrale in questo caso le nozioni di soluzione fondamentale e disuguaglianza di Harnack. Se, invece dell’operatore del calore, consideriamo l’operatore L = t^2\Delta_x -\partial_t la precedente scelta di aperti regolari non è più possibile. L’operatore L è un operatore totalmente degenere, nel senso di Bony, in quanto la forma quadratica, associata alla matrice dei coefficienti delle derivate seconde di L, si annulla in alcuni punti. A causa di questo fatto non è disponibile un metodo semplice per costruire una funzione barriera nei punti (x, t), di ordinata t = 0, che appartengano alla frontiera di un qualunque insieme. In particolare non è chiaro se l’insieme utilizzato per l'operatore del calore sia regolare per l’operatore degenere L. Nell’ottica, quindi, di estendere la teoria al caso di operatori totalmente degeneri abbiamo considerato la possibilità di utilizzare i classici cilindri, che non sono aperti regolari per l’equazione parabolica. Questi insiemi sono detti debolmente regolari e abbiamo richiesto che in essi fosse ben definito il problema di Dirichlet solo per dati definiti su una parte della frontiera, detta frontiera regolare. Siamo ritornati quindi allo studio del caso dell’operatore del calore e abbiamo ricostruito la teoria astratta degli spazi armonici, in questo contesto, utilizzando solo una base di aperti debolmente regolari per la topologia di R^n+1. Lo scopo della tesi è quello di studiare il caso dell’operatore degenere L = t^2\Delta_x -\partial_t servendosi solo della definizione di aperti debolmente regolari. Questo permetterà di ricavare, mediante il metodo di Perron, esistenza ed unicità per il problema di Dirichlet relativo ad L in aperti arbitrari.
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