Riassunto analitico
Si parte con una breve introduzione teorica, riguardante l'operatore di Green-Dirichlet (inverso dell’operatore di Laplace-Dirichlet): vengono studiate alcune delle sue proprietà in quanto operatore che agisce in uno spazio di Hilbert opportunamente scelto e le sue proprietà spettrali, con particolare enfasi sulla legge di Weyl. Vengono poi proposte due dimostrazioni della legge di Weyl: la prima è la dimostrazione originale di Weyl (1912): è una prova elemenare, nel senso che è basata su un uso attento della caratterizzazione variazionale non iterativa degli autovalori. La seconda dimostrazione è invece più recente e fa uso di strumenti meno elementari. Infatti è basata sull’equazione del calore e sulle proprietà dei kernels combinate con un teorema Tauberiano. Infine si prova a scoprire come le proprietà asintotiche dello spettro del Laplaciano, studiate nella prima parte, si comportano quando viene perturbato il dominio a cui il Laplaciano è riferito. L'ultima parte si basa su un lavoro di K. Uhlenbeck, in cui si dice che se si considerano due operatori di Green-Dirichlet i cui autospazi hanno tutti dimensione 1, allora è possibile collegarli con una curva di operatori che mantengono questa proprietà.
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Abstract
We start with a theoretical introduction about the Green-Dirichlet operator (the inverse of the Laplace-Dirichlet operator): we study some of its properties as an operator in an suitable Hilbert space and also its spectral properties, with particular emphasis on Weyl's law. Two proofs of Weyl’s law are given: the first is Weyl's original (1912) proof: it is elementary in the sense that it is based on a careful use of the non-iterative variational characterization of eigenvalues. The second proof is more recent and makes use of less elementary tools. In fact, it is based on the heat equation and on the properties of heat kernels combined with a Tauberian theorem. Finally we try to find out how the asymptotic properties of the spectrum of the Laplacian, studied in the first part, modify when we perturb the domain which the Laplacian is referred to. The last part relies on a work by K. Uhlenbeck, stating that if we consider two Green-Dirichlet operators, both having only one-dimensional eigenspaces, then it is possible to connect them with a smooth curve of operators, each one with only one-dimensional eigenspaces.
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