• Convex Analysis
• Convex Optimization
• Douglas-Rachford
• Forward-Backward
• Splitting Methods

L’obiettivo di questo elaborato `e quello di presentare una soluzione al problema di minimizzazione di una somma di due funzioni, in generale, non differenziabili. Per aggirare la questione della non differen- ziabilit`a, vengono utilizzati strumenti tipici dell’Analisi Convessa. In particolare, l’attenzione viene posta soprattutto sul sottodifferenziale. Si tratta di un operatore multivoco che permette di sviluppare tecniche molto simili ai metodi del gradiente, per funzioni convesse che per`o non ammettono, a priori, derivate. Invece, per risolvere il problema di ottimizzare la somma di due funzioni, i mezzi utilizzati vivono nel- l’ambito dei metodi di splitting. Nello specifico ci soffermiamo su algoritmi iterativi che alternano passi espliciti, simili appunto a quelli dei metodi del gradiente, a passi impliciti, che si basano sull’utilizzo del Proximal Operator.

The aim of this elaborate is to solve the problem of minimizing a sum of two functions, in general, not differentiable. In order to bypass the non differentiability issue, we use tools from Convex Analysis. In particular, the focus is put on the subdifferential. It is a multivalued operator that allows to develop techniques similiar to the gradient method, but for convex functions. On the other hand, to optimize the sum of functions, the means used belong to the class of splitting methods. In detail, we review two iterative algorithms which make use of explicit steps, similiar to those of the gradient method, and implicit steps, which are based on the Proximal Operator.