Riassunto analitico
Gli operatori di Kolmogorov sono una classe di operatori differenziali ipoellittici del secondo ordine che compaiono spesso nella teoria dei processi stocastici diffusivi. Questa classe di operatori definisce una struttura diversa da quella Euclidea: tutti gli operatori che appartengono a questa classe sono invarianti rispetto ad una particolare traslazione, ed una sottoclasse è invariante rispetto ad una opportuna famiglia di dilatazioni, simile per certi versi alle dilatazioni associate all'operatore del calore (che appartiene a questa classe). Queste proprietà geometriche ci permettono di costruire la soluzione fondamentale per mezzo del metodo della paramatrice di Levi. Nella prima sezione di questa tesi studiamo queste proprietà ed il metodo della paramatrice. Nella seconda sezione di questa tesi usiamo il metodo della paramatrice per migliorare i risultati ottenuti per un modello di Kuramoto con inerzia. I modelli di Kuramoto sono modelli matematici che descrivono il fenomeno della sincronizzazione spontanea tra oscillatori accoppiati: la sincronizzazione è uno stato a cui possono giungere sistemi incoerenti, come capita spesso nella transizione di fase, e questo fenomeno appare in molti settori differenti, come Biologia, Fisica e persino Scienze sociali.
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Abstract
Kolmogorov operators are a class of hypoelliptic second order differential operators that arise often in the stochastic theory of diffusion process. This class of operators defines a structure different from the Euclidean one: all operators belonging to this class are invariant with respect to a particular translation, and a subclass is invariant with respect to a certain family of dilations, similar in a certain sense to the dilations associated to the heat operator (which belongs to this class). These geometric properties allow us to construct the fundamental solution by the Levi’s parametrix method. In the first section of this thesis we study these properties and the parametrix method. In the second section of this thesis we use the parametrix method to improve the results obtained for a Kuramoto model with inertia. Kuramoto models are mathematical models that describe the spontaneous synchronization phenomenon between coupled oscillators: synchronization is a state into which incoherent systems may go, often as it occurs in phase transition, and this phenomenon appears in many different areas, such as Biology, Physics and even Social sciences.
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