Riassunto analitico
Il presente lavoro di tesi vuole determinare le costanti elastiche equivalenti di strutture trabeiformi, dette lattice, che presentino una certa periodicità nello spazio tale da rendere applicabili modelli multi-scala a partire dalle equazioni di equilibrio dinamico.
A tal scopo sono state studiate e comparate tre tecniche di omogeneizzazione sia analitiche, sia numeriche. In particolare, il primo e il secondo metodo sfruttano una formulazione analitica, attraverso il metodo della Trasformata di Fourier, e attraverso l'imposizione di condizioni di vincolo periodiche, rispettivamente.
Il terzo ed ultimo approccio, di tipo numerico, implementa le condizioni di periodicità di celle lattice mediante la tecnica degli elementi finiti.
Tali tecniche permettono di ridurre notevolmente i tempi di calcolo quando si approcciano geometrie periodiche, in cui la cella elementare presenta almeno un ordine di grandezze inferiore rispetto alle dimensioni globali del componente in analisi.
Sono state investigate strutture reticolari riferite sia a spazi di modellazione bi- e tri-dimensionali, per la quantificazione delle loro costanti elastiche equivalenti e delle densità equivalente, e.g. Simple Cubic e BCC_xyz mediante l'implementazione di codici autocostruiti entro gli ambienti di manipolazione wxMaxima e MatLab. Il pre-processing Altair Hypermesh e il solutore Marc Mentat sono stati adottati per il calcolo mediante elementi finiti.
L'ipotesi di periodicità è stata criticamente analizzata riferendosi ai casi di: 1) trave a sbalzo e 2) di trave semplicemente appoggiata poste in condizioni di inflessione quasi-statica e dinamica. Ambo tali strutture sono state ottenute per ripetizione di celle trabeiformi.
La struttura con proprietà omogeneizzate, rispetto alla struttura con celle a travi BCCxyz, presenta un errore massimo sulle frequenze dei primi 5 modi di vibrare inferiore all'2.5% già per un numero di celle pari a 40, a fronte di un tempo di calcolo ridotto di 22787%.
I metodi analitici di omogeneizzazione possono essere applicati solo utilizzando la teoria della trave, risultano dunque meno precisi rispetto al metodo di omogeneizzazione numerico con modello agli elementi finiti dettagliati. A differenza dei metodi numerici però, i metodi analitici sono rapidi e permettono di ottenere in forma chiusa le proprietà elastiche equivalenti in funzione dei principali parametri che definiscono la cella.
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Abstract
This thesis work seeks to determine the equivalent elastic constants of trabeiform structures, called lattice, that exhibit a certain periodicity in space such that multi-scale models can be applied from the dynamic equilibrium equations.
For this purpose, three homogenization techniques, both analytical and numerical, were studied and compared. Specifically, the first and second methods exploit an analytical formulation, through the Fourier Transform method, and through the imposition of periodic constraint conditions, respectively.
The third and final approach, which is intrinsically numerical, implements the periodicity conditions of lattice cells through the finite element technique.
Such techniques make it possible to greatly reduce computational time when approaching periodic geometries, in which the elementary cell has at least one order of magnitude less than the overall dimensions of the component under analysis.
Lattice structures referred to both two- and three-dimensional modeling spaces were investigated for quantification of their equivalent elastic constants and equivalent densities, e.g., Simple Cubic and BCC_xyz by implementing self-built codes within the wxMaxima and MatLab manipulation environments. Altair Hypermesh pre-processing and Marc Mentat solver were adopted for the computation of the finite elements.
The periodicity assumption was critically analyzed referring to the cases of: (1) cantilever beam and (2) simply supported beam placed under quasi-static and dynamic inflection conditions. Both of these structures were obtained by repetition of trabeiform cells.
The structure with homogenized properties, compared with the structure with BCCxyz beam cells, has a maximum error on the frequencies of the first 5 modes of vibration of less than 2.5% for a number of cells equal to 40, reducing the overall computation time 22787%.
Analytical homogenization methods can only be applied using beam theory, they are therefore less accurate than the numerical homogenization method with detailed finite element model. Unlike numerical methods, however, analytical methods are rapid and allow obtaining in closed form the equivalent elastic properties as a function of the main parameters defining the cell.
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