• Acoustics
• Differential Forms
• Finite Element
• Port-Hamiltonian
• Wave equation

In acustica numerica, la discretizzazione FE dell'equazione acustica di Helmholtz mostra effetti di dispersione. Questi portano a grandi errori numerici alle alte frequenze, cioè quando in particolare molte onde sono incluse nel dominio acustico. La rappresentazione del sistema Port-Hamiltonian (PH) enfatizza lo scambio, l'immagazzinamento e la dissipazione di energia nella formulazione matematica. I sistemi PH possono essere discretizzati selezionando opportunamente gli spazi FE per preservarne la struttura. In particolare, il bilancio energetico è preservato e la dissipazione numerica è evitata.

Gli obiettivi di questo lavoro sono:
Formulazione dell'equazione delle onde acustiche come sistema PH e rappresentazione delle condizioni al contorno imposte attraverso le variabili fisiche di potenza.
Conservazione della discretizzazione della struttura sulla base della letteratura recente e del lavoro preliminare presso la cattedra di Ingegneria del Controllo.
Implementazione della discretizzazione FE nel software open source FEniCS (fenicsproject.org) e nella documentazione.

In questo articolo svilupperemo un modello 2D (e 3D) per l'equazione d'onda per applicazioni vibroacustiche. Dopo un breve riassunto sulla formulazione classica del sistema delle 2 leggi di conservazione, useremo un approccio geometrico per impostare il nostro problema in una struttura Port-Hamiltoniana (usando forme differenziali e calcoli esterni). Procederemo poi con l'approssimazione agli elementi finiti utilizzando la cosiddetta formulazione debole, ottenendo la versione finale delle nostre equazioni.
Nella seconda parte del lavoro, eseguiremo l'analisi numerica in casi di prova illustrativa, per mostrare come simulare problemi dipendenti dal tempo e risolvere numericamente i relativi problemi di autovalore. Vedremo la differenza numerica tra l'utilizzo di diverse combinazioni di spazi funzionali in entrambi i tipi di analisi.

In numerical acoustics, the FE discretization of the acoustic Helmholtz equation shows dispersion effects. These lead to large numerical errors at high frequencies, i.e. when particularly many waves are included in the acoustic domain. The Port-Hamiltonian (PH) system representation emphasizes the exchange, storage and dissipation of energy in the mathematical formulation. PH systems can be discretized by suitable selection of the FE spaces in order to preserve their structure. In particular, the energy balance is preserved and numerical dissipation is avoided. The aims of this work are: Formulation of the acoustic wave equation as a PH system and representation of the imposed boundary conditions via the physical power variables. Structure-preserving discretization on the basis of recent literature and preliminary work at the Chair of Control Engineering. Implementation of the FE discretization in the open source software FEniCS (fenicsproject.org) and documentation. In this paper we are going to develop a 2D (and 3D) model for the wave equation for vibroacoustic applications. After a brief recap on the classical formulation of the system of 2 conservation laws, we will use a geometric approach to set our problem into a Port-Hamiltonian framework (using differential forms and exterior calculus). We will, then, proceed with the finite element approximation using the so-called weak formulation, obtaining the final version of our equations. In the second part of the paper, we will perform numerical analysis in illustrative test cases, to show how to simulate time dependent problems and to solve numerically the related eigenvalue problems. We will see the numerical difference between using different function space combinations in both type of analysis.