• Binary fluid
• Cahn-Hilliard
• Consistent model
• Non isothermal
• Phase transition

Questa tesi è dedicata allo studio dell'equazione di Cahn-Hilliard non isoterma definita all'interno di un dominio spaziale bidimensionale. Il modello descrive un processo di separazione di fase che si presenta in miscugli non isotermi di due fluidi, sotto opportune condizioni. Qui, in accordo con le regole della termodinamica ricaviamo e studiamo la buona positura dell'equazione in un opportuno spazio funzionale.

In letteratura, lo stesso problema è stato studiato in tre dimensioni includendo nell'equazione anche la velocità di tale fluido: in tre dimensioni, la nozione di definizione è molto debole e solo l'esistenza è stata provata. Invece, nel caso bidimensionale, una soluzione più forte è stata dimostrata esistere. In un articolo recente, è stata provata ulteriore regolarità per le soluzioni, rendendo, in particolare, possibile provare l'unicità e conseguentemente analizzare il suo comportamento per tempi lunghi. In questa tesi, ignorando la velocità del fluido è stato possibile migliorare la regolarità delle soluzioni, in particolare della temperatura. Questo di conseguenza porta ad una più semplice dimostrazione dell'unicità a pone le basi per un'ulteriore, più approfondita analisi del comportamento per tempi lunghi del sistema.

This thesis is devoted to a non isothermal Cahn-Hilliard equation in a bidimensional spatial domain. The model describes a phase-separation process in a binary mixture of non isothermal fluids occupying a bounded vessel. Here complying with the laws of Thermodynamics, we rigorously derive the model and then we study its well-posedness in a suitable functional setting. In the literature, the very same problem has been studied in three and two dimensions including the fluid velocity equations: in the three dimensional setting, the notion of solution was very weak and only its global in time existence could be proved. In turn, in the bidimensional framework the existence of a stronger notion of solution could be achieved. In a recent work, the solutions are proved to be more regular, making possible to obtain the uniqueness of the solution and then to analyze the asymptotic behavior of the system. In this thesis, neglecting the fluid velocity and so letting the nonlinearities more tractable, I was able to further improve the smoothness of the solution, in particular in the temperature component, implementing a Moser scheme. This then allows to slender the uniquess proof as it lays the foundations of a deeper analysis of the longtime behavior of the system.