Riassunto analitico
I riduttori a planetario sono stati largamente impiegati nelle trasmissioni meccaniche con grandi vantaggi, quali l'elevata coppia trasmissibile, il peso ridotto, l'alta affidabilità ed efficienza. Esempi di applicazioni dei rotismi planetari sono presenti nelle trasmissioni automobilistiche, nelle macchine agricole, negli elicotteri e nei motori di impiego aeronautico.
L'analisi dinamica dei riduttori planetari è essenziale per ridurre le problematiche di rumore e vibrazioni. Le forze dinamiche all'interfaccia tra solare-pianeta e corona-pianeta sono la principale fonte di tali problemi a causa della forte connessione tra rumore ed errore di trasmissione dinamico.
Le vibrazioni nei planetari inducono carichi dinamici, provocando la riduzione della vita del meccanismo e producendo rumore. La principale sorgente di vibrazione è l'eccitazione parametrica dovuta alla rigidezza d'ingranamento tempo-variante nelle coppie solare-pianeta e corona-pianeta, poiché il numero di coppie di denti in presa varia durante il funzionamento.
Questa tesi presenta un modello in grado di simulare il comportamento dinamico di un riduttore planetario a singolo stadio in presenza di gioco. La formulazione è generale, così da essere applicabile ad un numero qualsiasi di pianeti. Il modello include la rigidezza tempo-variante e il gioco per tutti gli accoppiamenti presenti; tiene conto altresì della deformabilità dei cuscinetti di supporto.
Nel presente modello, ogni elemento - cioè solare, pianeti, porta-satelliti e corona - possiede tre gradi di libertà: due traslazionali e uno rotazionale, per un totale di diciotto gradi di libertà per il caso di riferimento considerato, che presenta tre satelliti. Le equazioni del moto linearizzate sono state risolte per calcolare le frequenze proprie del sistema - a tal fine si è tenuto conto dei valori medi delle rigidezze di ingranamento coinvolte - e le equazioni non-lineari del moto sono state integrate numericamente per studiare l'effetto della rigidezza tempo-variante e del gioco. Il modello proposto ha poi permesso di descrivere il comportamento non lineare di un riduttore planetario.
È stata studiatala sensibilità delle frequenze proprie ai parametri del sistema: in particolare alla variazione delle rigidezze dei supporti nel caso di pianeti equi spaziati e disposti simmetricamente.
Il distacco dei denti in presenza di vibrazioni elevate introduce una non-linearità nel sistema esaminato. Il presente lavoro descrive la complessa dinamica di un planetario in tali condizioni facendo uso di un modello a parametri concentrati. Tale modello bidimensionale rappresenta le ruote come inerzie concentrate, gli ingranamenti per mezzo di molle non lineari che tengono conto della perdita di contatto tra i denti e della variazione periodica della rigidezza d'ingranamento dovuta al cambiamento del numero di coppie di denti in presa e i supporti come molle lineari.
Il presente lavoro esamina la complessa dinamica non lineare dei planetari facendo uso di metodi numerici all'interno del range di frequenze operative. Si è effettuata un'analisi di biforcazione per studiare la presenza di fenomeni di raddoppio di periodo e di chaos.
La dinamica dei planetari mostra diversi comportamenti non lineari: salti di soluzione, moti caotici e raddoppi di periodo si verificano quando la frequenza di ingranamento o le sue armoniche superiori sono prossime ad una frequenza propria del sistema. In condizioni di risonanza, la vibrazione risultante provoca il distacco dei denti in presa, determinando l'instaurarsi di effetti non lineari, quali il salto di soluzione e le risonanze sub-armoniche.
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Abstract
Planetary gear system, have been widely used in power transmission systems owing to their advantages such as high torque to weight ratios, large speed reductions in compact volumes, availability of multiple speed reduction ratios, high reliability and high efficiency. Examples of application of planetary gears are automotive transmissions, tractors, helicopters, and aircraft engines.
The dynamic analysis of planetary gears is essential for reducing noise and vibration problems. The dynamic forces at the sun-planet and ring-planet meshes are the main sources of such problems due to the strong interaction between noise and dynamic transmission error.
Planetary gear vibrations produce dynamic loads, cause reduction in the structural life time and generate noise. The main source of vibration is the parametric excitation due to the periodically time-varying mesh stiffness of each sun-planet and ring-planet gear; because the number of gear tooth pairs in contact changes during gear rotation.
This thesis presents a full model to simulate the dynamic behavior of a single-stage planetary gear system with backlash. The generic nature of the formulation allows the analysis of a planetary gear set with any number of planets. This dynamic model considers time varying mesh stiffness and backlash, for all sun-planets and ring-planets meshes and bearing compliance.
In the present model each element (the sun gear, planets, carrier and the ring gear) has three degrees of freedom; two transverse and one rotational, thus giving a total of eighteen degrees of freedom for the case study system with three planets. The linear averaged equations of motion are solved to obtain the natural frequencies and the nonlinear equations of motion are solved numerically to study the effect of time-varying stiffness and backlash. The proposed model is employed to describe the nonlinear behavior of a planetary gear system.
The natural frequency sensitivity to system parameters is investigated for planetary gears. Parameters under consideration include support stiffnesses for symmetric and equally spaced system.
Tooth separations at large vibrations introduce nonlinearity in geared systems. The present work examines the complex, nonlinear dynamic behavior of spur planetary gears using a lumped-parameter model. The two-dimensional (2D) lumped-parameter model represents the gears as lumped inertias, the gear meshes as nonlinear springs with tooth contact loss and periodically varying stiffness due to changing tooth contact conditions, and the supports as linear springs.
This work examines the complex nonlinear dynamics of planetary gears by numerical method over the meaningful mesh frequency ranges. Bifurcation analysis have been studied to investigate the chaotic and period doubling phenomena.
The dynamics of planetary gears show different nonlinear phenomena. Nonlinear jumps, chaotic motions, and period-doubling bifurcations occur when the mesh frequency or any of its higher harmonics are near a natural frequency of the system. At resonance, the resulting vibration causes tooth separation leading to nonlinear effects such as jump phenomena and sub-harmonic resonance.
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