• Multigrid
• Ottimizzazione
• Strutture
• Topologica
• Vibrazioni

Il lavoro di tesi discute di metodologie ad alta efficienza computazionale per la soluzione di problemi agli autovalori nel contesto dell’ottimizzazione topologica, con particolare riguardo al caso della dinamica strutturale.
Nei campo dell’ottimizzazione strutturale compaiono spesso grandezze connesse ad autovalori e che rappresentano quantità di diretto interesse progettuale, quali frequenze proprie o carichi critici della struttura. Un’accurata valutazione di tali parametri è essenziale ai fini del controllo delle vibrazioni o per la prevenzione di fenomeni di instabilità. Ciò assume interesse, a maggior ragione, per strutture ottimizzate, ad esempio, per la riduzione del peso, della deformabilità o delle tensioni. La configurazione strutturale risultante da tali criteri, infatti, può presentare elementi snelli ed essere molto sensibile a sollecitazioni dinamiche o all’instabilità. Perciò, tali fenomeni devono essere esplicitamente considerati nella formulazione del problema di ottimizzazione, come obiettivo principale oppure come vincoli. In ambo i casi ciò richiede la soluzione di un problema agli autovalori ad ogni iterazione del procedimento di ottimizzazione e ciò rende il procedimento stesso molto più oneroso e complesso, sia dal punto di vista teorico che da quello computazionale. L’ottimizzazione topologica è uno strumento potente che permette la definizione di una configurazione strutturale ottimale. Negli ultimi decenni, una considerevole quantità di ricerca è stata indirizzata a tale metodologia e diverse strategie risolutive sono state proposte. Nonostante ciò, la soluzione di problemi agli autovalori aventi dimensioni estreme (10^6-10^9 incognite) continua ad essere un ostacolo, che rallenta l’applicazione dell’ottimizzazione topologica a problemi a grande scala.
Nel presente lavoro viene proposta una strategia che permette la soluzione di tali problemi. Il nucleo concettuale del metodo sta nell’introduzione di un problema “surrogato”, avente come obiettivo la minimizzazione della risposta in frequenza per un’opportuna forzante armonica. Tale surrogato richiede la risoluzione di soli sistemi lineari e dunque è, in generale, di più semplice trattamento. Inoltre, si può dimostrare che sotto opportune ipotesi riguardo la scelta dei parametri della forzante, la soluzione del problema surrogato conduce a risultati ingegneristicamente equivalenti a quelli forniti dal problema agli autovalori originale. Alcuni metodi vengono poi discussi per la soluzione efficiente di tale problema e una nuova strategia multilivello viene proposta. L’idea alla base di quest’ultima è quella di un solutore multigrid, avente complessità ottimale, cui alcuni sviluppi originali vengono introdotti sfruttando le caratteristiche dello specifico problema in oggetto.
L’approccio proposto viene testato su alcuni problemi modello, dimostrandone l’efficacia ed elevata efficienza computazionale. Problemi 3D, aventi più di 8 milioni di incognite, vengono risolti utilizzando una ragionevole quantità di risorse computazionali.

This thesis discusses efficient solution strategies for topology optimization problems involving eigenvalue criteria, with special regard to structural vibrations. Eigenvalue criteria frequently appear in optimal design of structural elements, representing important physical requirements. Among them, vibration control and protection against buckling are particularly noteworthy, since these phenomena may yield to unexpected structural failures. This becomes even more true for structures optimized with respect to weight, compliance or stress distribution, and which may consist of thin, slender, elements, making the structural configuration sensitive to dynamic excitations and imperfections. Therefore, vibrations and buckling must be explicitly accounted in the formulation of the optimal design problem, either as main objective or as behavioral constraints. This requires the solution of an eigenvalue problem at each step of the iterative procedure, increasing considerably the complexity of the problem, from both theoretical and numerical points of view. Topology optimization has become a popular method for synthesis of optimal structures, giving the designer the largest freedom to modify the structural configuration. In the last decades considerable research efforts have been addressed to this field, and several formulations and solution strategies have been proposed accounting for eigenvalue criteria. Despite of it, the solution of a very large scale topology optimization problem (10^6-10^9 design variables) involving eigenvalues is still a challenging task. In this work we propose a strategy suitable for application to very large scale problems. The method is conceptually based on the solution of a surrogate optimization problem: the minimization of the response function for a properly tuned harmonic excitation. This is a way simpler task, involving only the solution of linear systems. Upon proper selection of the harmonic parameters the outcome from this surrogate optimization problem are equivalent to that of the original one. This can be rigorously proved within the framework of duality theory, and the role of the harmonic parameters on the quality of the surrogation is assessed. Efficient methods for the solution of the surrogate problem are then discussed and an original multilevel procedure, having optimal complexity, is proposed. The underlying idea of the procedure is a multigrid solver, and some characteristics of the specific problem are taken advantage of. Similarities with some existing high efficiency eigenvalue solvers are recognized and the novelties of the proposed approach clearly highlighted. Feasibility of the proposed method, in terms of accuracy of the outcome and computational savings, is demonstrated on examples involving optimization of beams, 2D and 3D structures. The optimization of 3D structural elements containing more than 8 millions of unknowns is made possible, using a reasonable amount computational resources.