Riassunto analitico
L’obiettivo della tesi è di effettuare uno studio rigoroso del problema matematico dell’ottimizzazione topologica, per realizzare un codice agli elementi finiti in FEniCS, basato sul linguaggio Python. Il detto codice deve essere in grado risolvere problemi nel dominio fisico dell’elasticità lineare e in quello della conduzione (o diffusione) termica, con la possibilità di utilizzare varie condizioni al bordo.
La tesi è strutturata in quattro parti. La prima consiste nei richiami matematici necessari alla corretta formulazione del problema. In particolare, sono riportati i concetti di ottimizzazione vincolata, di calcolo delle variazioni, di spazio di Sobolev e di formulazione debole di un problema ai valori al bordo. Si espongono, inoltre, il metodo degli elementi finiti e quello della funzione di Green. Nella seconda parte, si presenta il problema di ottimizzazione topologica, verificando l’esistenza e l’unicità delle soluzioni delle equazioni di stato Si analizza la modellizzazione numerica della distribuzione di materiale e i metodi risolutivi del problema. Nella terza parte si presenta codice costruito durate il lavoro di tesi, applicandolo ad un problema-test nel dominio elastico. La scelta del software è ricaduta su FEniCS poiché permette un’agevole gestione della formulazione debole. Si è utilizzato il metodo degli asintoti mobili per la soluzione del problema di ottimalità. Nella quarta parte, si esibiscono i risultati di una serie di esperimenti numerici ottenuti utilizzando il codice sopra descritto. Si sono indagati:
• un problema termico
• l’effetto sulla soluzione del raffinamento e dell’allargamento della griglia di discretizzazione
• l’effetto della variazione dei parametri del filtro di Helmholtz
• due ulteriori condizioni al bordo per il caso elastico
• un problema elastico tridimensionale
|
Abstract
The aim of my thesis is to carry out a rigorous study of the mathematical problem of topology optimization and to write down a finite element code in FEniCS (based on Python). This code should be able to solve problems in the physical domains of linear elasticity and in the thermal diffusion one, with the possibility to set different boundary conditions.
The thesis is structured in four parts. The first one consists of some theoretical fundamentals necessary for a correct problem formulation. In particular, the concepts of constrained optimization, calculus of variations, Sobolev spaces and weak formulation of a boundary value problem have been reported. In addition, the finite element method and the Green’s function method have been analyzed.
In the second part, the problem of topology optimization has been exposed, verifying the existence and the uniqueness of the solutions of the state equations. The numerical modeling of the problem has been analyzed and reported, together with the most common methods to solve it.
In the third part the code has been shown, applying it to a linear elastic test problem. The software “FEniCS”, has been chosen, since it allows a convenient handling of the weak formulation of the equations. In this case, the method of moving asymptotes has been applied to solve the optimality problem.
In the fourth part, the results of some numerical experiments have been reported. The following topics have been investigated:
• a thermal problem
• the effect on the solution of the refinement and the enlargement of the discretization mesh
• the effect of the variation of the parameters of the Helmholtz-type filter
• two more boundary conditions for the elastic problem
• a three dimensional linear elastic problem
|
