Riassunto analitico
In questa tesi si riflette sul concetto di area e sul suo insegnamento nella scuola secondaria. L’idea nasce dal fatto che, nelle mie prime esperienze di insegnamento ho potuto osservare che i miei studenti vedevano la geometria come una materia molto astratta e avevano difficoltà anche di fronte alle sue più semplici applicazioni pratiche, ad esempio nell’elaborare strategie per misurare l’area di figure appena un po’ più complicate dei parallelogrammi o dei trapezi.
Tipicamente nell’insegnamento, l’area è assunta come un concetto primitivo e viene introdotta come una relazione di equivalenza. Poi successivamente si forniscono agli studenti le formule che servono per calcolarla nel caso di poligoni e cerchio, eventualmente introducendo,
ma solo in un momento successivo nelle ultime classi delle superiori, dei metodi più avanzati che permettono di trattare figure più complesse.
Inoltre, spesso viene trascurato un aspetto molto importante, che in realtà è ciò che serve nelle applicazioni pratiche: il calcolo approssimato delle aree.
Questo può creare nei ragazzi la convinzione che ogni problema in matematica abbia una soluzione “esatta” che si trova con una formula o un algoritmo specifico, e che pertanto i metodi di approssimazione non sono strumenti adeguati a fare matematica.
Un fatto abbastanza curioso è che in gran parte dei libri di testo, in questa trattazione elementare dell’area non si usino mai né il termine “insieme” né “funzione”, rinunciando in questo modo a collegare in modo efficace la geometria alla matematica moderna.
Questo approccio didattico, porta gli studenti a vedere l’area come una proprietà intrinseca delle “superfici” e non come una funzione, definita su una famiglia di insiemi, che ad esse associa un numero.
Lo scopo della tesi è quindi quello di proporre qualche spunto di riflessione sull’area, per condurre gli studenti a riflettere in modo più preciso su che cosa sia questo importante concetto, utilizzando tutti gli strumenti, soprattutto i concetti di insieme e di funzione, che si hanno a disposizione.
Per questo motivo nel Capitolo 1 si espone un approccio più formale al concetto di area, vista come una funzione definita su una famiglia di insiemi. Nel Capitolo 2 si analizzano e confrontano gli approcci didattici di alcuni dei principali libri di testo adottati nei licei scientifici. Il Capitolo 3 è di carattere storico ed è dedicato ad alcuni dei principali risultati legati al problema del calcolo delle aree, soprattutto ai contributi di Eudosso di Cnido e di Archimede nel periodo ellenistico e allo sviluppo dell’integrale definito nel periodo moderno. Nel Capitolo 4, infine, sono descritte e discusse due esperienze di laboratorio didattico, sul calcolo approssimato delle aree, sul calcolo approssimato delle aree, che sono stati proposti in una classe seconda media e in una seconda superiore.
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