Riassunto analitico
Quando un sistema dinamico è molto complesso, non risulta una scelta fattibile o interessante (soprattutto da un punto di vista computazionale) individuare tutte le possibili traiettorie. D'altra parte le traiettorie rare nei sistemi dinamici sono molto importanti: esse spesso costituiscono il percorso seguito dalle reazioni chimiche, le strutture responsabili delle intermittenze nei fluidi turbolenti, le onde anomale rilevate dalle piattaforme petrolifere. Ci sono molti esempi che dimostrano che le traiettorie che contano non sono quelle tipiche ma quelle ottenute a partire da particolari condizioni iniziali o particolarmente rare. Gli esempi citati possono essere studiati simulando ripetutamente, o per lungo tempo, le vera dinamica, tuttavia questa procedura non è fattibile per sistemi complessi su larga scala. In questa tesi è studiata una nuova strategia di calcolo (l’algoritmo Cloning) per stimare la probabilità degli eventi rari. Cloning è un metodo Monte Carlo che permette di calcolare la funzione delle grandi deviazioni (più precisamente la sua trasformata di Legendre) utilizzando un approccio che si basa sulla dinamica di una popolazione: il metodo consiste nell’evoluzione di una famiglia di copie del sistema che vengono clonate o soppresse in modo tale da favorire la realizzazione di traiettorie atipiche. In questo lavoro è presentata una formulazione rigorosa dell’algoritmo Cloning ed è discussa la sua relazione con i processi di branching. Il metodo è applicato nei processi di nascita-morte per calcolare la funzione delle grandi deviazioni della corrente: è stato trovato accordo tra il calcolo numerico e analitico, mostrando così che Cloning è un metodo robusto per la simulazione di eventi rari.
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Abstract
When a dynamic system is quite complex, it's not a feasible or attractive choice (especially from a computational point of view) to identify all possible trajectories. On the other hand rare trajectories in dynamical systems are very important: they often constitute the path followed by the chemical reactions, the structures responsible for the intermittent turbulent fluids, rogue waves detected by oil platforms. There are many examples which prove that trajectories that count are not the typical ones but those achieved from particular initial conditions or particularly uncommon. Those examples cited can be studied by simulating repeatedly, or for a long time, the true dynamics, however this procedure is not feasible for complex large-scale systems. In this thesis a new computation strategy (the Cloning algorithm) to evaluate the probability of rare events is discussed. Cloning is a Monte Carlo method which allows to compute the large deviation rate function (more precisely its Legendre transform) using an approach relying on population dynamics: the method is based on the evolution of a family of copies of the system which are replicated or killed in such a way as to favor the realization of the atypical trajectories. In this work the rigorous formulation of the Cloning method is presented and its relation to branching processes is discussed. The algorithm is applied in the context of birth-death processes to compute the large deviation function of the current. We found agreement between numerical and analytical computation, thus showing that Cloning is a robust method for the simulation of rare events.
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