Riassunto analitico
Il calcolo delle ampiezze di scattering tramite l'utilizzo dei diagrammi di Feynman, pur essendo intuitivamente semplice, diventa molto impegnativo quando il numero di particelle esterne aumenta, anche a tree-level.
Per fornire una soluzione a questo problema, nel 1988 Berends e Giele hanno presentato un metodo per calcolare le ampiezze di scattering a tree-level per la teoria di Yang-Mills e la QCD in termini di correnti ricorsive. Il vantaggio principale di questo risultato consiste nella possibilità di calcolare un processo a (n+1)-gluoni (sia analiticamente che numericamente) utilizzando il risultato ottenuto per n-gluoni. Tuttavia, poiché la loro derivazione era puramente "costruttiva" e specifica per i casi analizzati, Berends e Giele non hanno fornito un metodo sistematico che permetta di ricavare queste correnti.
Questo problema è stato risolto nel 1997 da Rosly e Selivanov: introducendo una soluzione di ansatz, l'espansione "perturbiner", per le equazioni di campo classiche della teoria di Yang-Mills, hanno mostrato come derivare da lì una generica ampiezza gluonica a tree-level. Il loro risultato è identico a quello ottenuto da Berends e Giele e, di conseguenza, questa espansione fornisce proprio quel metodo sistematico non fornito da Berends e Giele per derivare le relazioni di ricorsione. I due risultati insieme portano a un metodo innovativo per il calcolo delle ampiezze di Yang-Mills a tree-level, il metodo "perturbiner".
La ricerca di questa tesi si è sviluppata su due fronti. Da un lato, si è studiata la possibilità di estendere il metodo "perturbiner" a teorie di campo diverse da Yang-Mills: si è partiti dal caso più semplice possibile di una teoria di campo scalare con un termine di interazione generico, e si è proceduto con il caso specifico della teoria "Yang-Mills" scalare; si è poi considerata l'applicazione del metodo a uno specifico processo di QCD per passare successivamente al caso di teorie di campo non commutative che coinvolgono scalari, fermioni e campi tensoriali. Infine, utilizzando le relazioni KLT, si è studiata la possibilità di applicare il metodo al calcolo di ampiezze di scattering a tree-level per i gravitoni.
In secondo luogo, data la natura ricorsiva del metodo, si è proceduto sviluppando codici in Wolfram Mathematica che implementano l'espansione "perturbiner" per ricavare automaticamente e analiticamente le ampiezze di scattering a tree-level per le teorie analizzate.
Infine, si è studiata la possibilità di migliorare il metodo "perturbiner" in modo da inserire nel calcolo ricorsivo anche le correzioni a loop.
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Abstract
Calculating scattering amplitudes in terms of Feynman diagrams becomes a very challenging task when we have a large number of external legs, even at the tree level.
To provide a solution to this problem, in 1988 Berends and Giele presented a method to calculate tree-level scattering amplitudes for Yang-Mills theory and QCD in terms of recursive currents. The main advantage of this result was the possibility to calculate the (n+1)-gluon process (both analytically and numerically) knowing the result for the n-gluon case. The problem is that Berends and Giele did not provide a systematic way to derive these currents, since their derivation was purely "constructive" and specific to the cases analyzed.
In 1997 Rosly and Selivanov solved this issue: by introducing an ansatz solution, the "perturbiner" expansion, for the classical field equations of Yang-Mills theory, they showed how to derive from there tree-level gluon scattering amplitudes. Their result is identical to that obtained by Berends and Giele: therefore, one can conclude that this expansion provides a systematic method for deriving Berends-Giele recursion relations. This leads to a novel method for calculating Yang-Mills tree-level amplitudes, the "perturbiner" method.
The research in this thesis was developed on two fronts. On the one hand, we studied the possibility of extending the "perturbiner" method to field theories other than the Yang-Mills: we started with the simplest possible case of a scalar field theory with a generic interaction term, and proceeded with the specific case of the scalar "Yang-Mills"; we then considered its application to a specific QCD process to subsequently move on to the case of Non-Commutative field theories involving scalars, fermions and tensor fields. Finally, using KLT relations, we investigated the possibility of applying the method to calculate tree-level graviton scattering amplitudes.
On the other hand, given the recursive nature of the method, we developed codes in Wolfram Mathematica that implement the "perturbiner" expansion to automatically and analytically derive tree-level scattering amplitudes for the theories analyzed.
In addition, we also studied the possibility to improve the method to introduce loop corrections.
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