Riassunto analitico
La presente tesi riguarda l'analisi di una procedura iterativa per risolvere problemi differenziali nonlineari contenenti un termine di diffusione.
Il metodo analizzato consiste nel lagging della diffusività nei sistemi algebrici nonlineari che nascono dalla discretizzazione del problema differenziale. Chiamiamo pertanto questa procedura "Lagged Diffusivity Method" (LDM). Il metodo produce quindi una linearizzazione almeno parziale del sistema algebrico nonlineare di partenza. Ad ogni iterazione dovremo dunque risolvere un sistema algebrico lineare o debolmente nonlineare, cosa che facciamo tramite risolutori interni iterativi.
Analizziamo il metodo considerando la sua applicazione a diversi tipi di problemi di diffusione. Per ciascuno studiamo le proprietà degli operatori alle differenze finite ed analizziamo la convergenza della procedura. Analizziamo anche diversi risolutori per i sottoproblemi che intervengono ad ogni iterazione del metodo, descrivendo, in particolare, come impostare in modo computazionalmente efficiente vettori iniziali e criteri d'arresto per tutte le procedure iterative.
Infine, presentiamo esperimenti numerici che includono tutti i problemi studiati. In particolare, analizziamo la robustezza della procedura considerando diversi problemi test, compresi casi che presentano soluzioni caratterizzate da boundary layer o blow-up.
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Abstract
This thesis is concerned with the analysis of an iterative procedure for solving nonlinear differential problems characterized by a diffusion term.
The analyzed method consists in lagging the diffusivity in the algebraic nonlinear system arising from the discretization of the differential problem. We hence call this procedure Lagged Diffusivity Method (LDM).
Thus, the method produces an at least partial linearization of the initial nonlinear algebraic system. At each lagging iteration, we therefore need to solve a linear or a weakly nonlinear algebraic system, which we do by iterative inner solvers.
We analyze the LDM considering its application to different kinds of diffusion problems. For each of them, we study the properties of the finite-difference operators and provide a comprehensive analysis of the convergence of the procedure.
We also analyze different inner solvers, describing, in particular, how to set starting vectors and stopping criteria of all the iterative procedures in a computationally efficient way.
Finally, we present some numerical experiments encompassing all the studied problems. In particular, we analyze the robustness of the procedure by considering several test problems, including cases presenting boundary layers or blow-up solutions.
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